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Proposiciones
En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.
Proposición. Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.
Ejemplo 1: Las siguientes afirmaciones son proposiciones.
(a) Gabriel García Marquez escribió Cien años de soledad.
(b) 6 es un numero primo.
(c) 3+2=6
(d) 1 es un numero entero, pero 2 no lo es.
Nota: Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r . . . . . .
La notación p: Tres más cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposición.
“tres más cuatro es igual a siete”.
Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras.
Ejemplo 2: Las siguientes no son proposiciones.
(a) x + y > 5
(b) ¿Te vas?
(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.
(d) x = 2
Solución: En efecto, (a) es una afirmación, pero no es una proposición ya que será verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y
Igual ocurre con la afirmación (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto, no son proposiciones.
Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad.
Valor de la verdad.
Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad.
El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso.
Ejemplo 3: Dígase cuales de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de verdad de aquellas que lo sean.
(a) p: Existe Premio Nobel de informática.
(b) q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.
(c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación.
(d) s: Cinco más siete es grande.
Solución:(a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso.
(b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa.
(c) r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.
(d) s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo.
En efecto, cinco niñas más siete niños es un numero grande de hijos en una familia, sin embargo, cinco monedas de cinco 100 pesos más siete de 200 pesos no constituyen una cantidad de dinero grande.
Negación de una proposición
la negación de una proposición simple se obtiene anteponiendo la palabra no es cierto que. Al negar una proposición se cambia el valor de verdad observa:
Nota: el símbolo de negación es ~, ¬
Ejemplo: negar la siguiente proposición Simón Bolívar es el libertador y elaborar su tabla de verdad.
Solución:
q: Simón Bolívar es el libertador ---------------------------------> (V)
Negando esta proposición quedaría:
~q: no es cierto que Simón Bolívar es el libertador --- > (F)
~q: Simón Bolívar no es el libertador --- > (F)
Tabla de verdad
Proposición
|
Resultado
|
q
|
V
|
~q
|
F
|
Concluimos que cuando q es verdadero ~q es falso y
cuando q sea falso ~q es verdadero.
q
|
~q
|
V
|
F
|
F
|
V
|
CONECTIVOS LÓGICOS
(~) también representa "Negación"
Actividad:
Identifica las proposiciones simples y clasifica en verdadera o falsa las frases siguientes:
a) Siete es un número natural.
b) ¡Lave el carro!
d) Cali es la capital de la República de Colombia.
e) 4 x 5 = 9
f) Todo triangulo tiene tres lados.
g) 3 + 9 es menor que 11.
h) Los recursos renovables si se puede restaurar por procesos naturales.
i) No son recursos renovables productos derivados de los combustibles fósiles.
J) Siéntese!
k) 101 es un numero par.
Fuente: Lógica Matemática Francisco José González Gutiérrez
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